La tabla de los elementos matemáticos: tres cálculos principales


La palabra cálculo proviene etimológicamente del latín calculus que significa “piedrita”, debido a los elementos en forma de bolitas del ábaco con los que se contabilizaban cosas. En la antigüedad se utilizaban bolitas de piedra para contabilizar el ganado; cada piedra representaba un animal.

En general el término cálculo​ hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término «cálculo» es el lógico-matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados. Las matemáticas se dividen en distintos tipos de cálculo.

1. Cálculo numérico

1.1. Cálculo aritmético. Se centra en el estudio de la resolución de problemas que tienen que ver con los números y con las operaciones básicas de la matemática, que son la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división. Los resultados se pueden conseguir mediante instrumentos, o usando simplemente los dedos de la mano para contar. Este es el primer tipo de operación matemática a la que los estudiantes se enfrentan en la etapa escolar.

1.2. Cálculo algebraico. Este es el tipo de cómputo que realiza operaciones con ecuaciones utilizando letras para representar algunos números. Este cálculo estudia las propiedades generales de las operaciones de la aritmética de manera que puedan generalizarse para considerar distintos valores asignables a las “letras” y resolver así las incógnitas. Al combinar números, letras, y símbolos en distintas ecuaciones el lenguaje utilizado se conoce como lenguaje algebraico, el cual fue creado en el periodo de Al-Juarismi (780-850 d.C. aproximadamente) para globalizar las operaciones matemáticas.

2. Cálculo dimensional

2.1. Cálculo geométrico. La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

2.2. Cálculo topológico. La topología (del griego τόπος, ‘lugar’, y λόγος, ‘estudio’) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que están sometidas a transformaciones continuas, permaneciendo inalteradas con el transcurso del tiempo. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.

3. Cálculo sistémico

3.1. Cálculo estadístico. Es la rama de las matemáticas que estudia la estática, el estado, o las características concretas de los sistemas. La estadística se encarga de obtener, organizar y analizar un conjunto de datos para poder explicar situaciones, tendencias e incluso poder predecir futuros acontecimientos. Para ello, se utiliza un razonamiento basado en suposiciones simples. La estadística tiene el propósito de determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento, que sería la cantidad de veces que el mismo ha tenido lugar bajo determinadas circunstancias o condiciones. La estadística se utiliza para determinar la moda, la mediana y la media, a partir del universo de datos proporcionados por el estudio. Se entiende como moda al dato que más se repite en un conjunto de datos recolectados para un estudio estadístico; la mediana es el valor central de la data; y la media o promedio es la medida que más se utiliza y es más sencilla de calcular usando ecuaciones.

El cálculo combinatorio es la rama de la estadística que estudia sistemas no aleatorios. Analiza la combinación y la sucesión de características presentes en un conjunto o muestra poblacional, atendiendo a sus cualidades o a las distintas formas de combinarse y ordenarse entre ellas.  

El cálculo probabilístico es la rama de la estadística que estudia sistemas aleatorios. Analiza los espacios muestrales que son el conjunto de todos los posibles resultados.

3.2. Cálculo infinitesimal. Es la rama de las matemáticas que estudia la dinámica o la evolución concreta de los sistemas. Se dedica al estudio y comprensión de las razones del cambio. Antes de que fuera inventado de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII, la matemática era considerada “estática”. Su gran importancia radica en el hecho de que nada en el universo es estático, por ejemplo, el mismo planeta tierra está en constante movimiento. De allí la importancia de esta rama de la matemática que nos permite estudiar los cambios y movimientos presentes en el universo.

El cálculo diferencial, mediante la derivada como su herramienta fundamental, se dedica al estudio de las tasas de cambio instantáneas o bien, geométricamente, a determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. 

El cálculo integral, mediante la integral como su unidad fundamental, se centra en el estudio del área debajo de una curva. Es la división de la matemática que integra o realiza la inversa de la derivación, y su aplicación tiene como objetivo la determinación de la superficie de un área, el volumen de una región, o el de un sólido sometido a revolución (el volumen resultante de la rotación de un plano tomando a una recta como eje central). El físico Isaac Newton (1643-1727) y otros grandes científicos como René Descartes (1596-1650) y Arquímedes (288-212 a.C.), contribuyeron a la creación del teorema fundamental del cálculo integral que establece que la derivada (velocidad de un objeto para todos los momentos del mismo en un intervalo de tiempo) y la integración son inversos.

Lo más sorprendente es que, aunque los dos problemas geométricos que resuelve el cálculo infinitesimal parecieran a simple vista desconectados, estos se amalgaman perfectamente a través del teorema fundamental del cálculo, el cual relaciona a las derivadas con las integrales.

Referencias bibliográficas: Wikipedia

Acerca de Eladio

Licenciado en biología. Profesor de instituto. Doctorando en economía.
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